Question

已知函数 在 处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求 x₀和b 的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内 f（x）≥0恒成立；  
（Ⅲ） 若函数 有最小值m ，且 ，求实数a 的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数可得
由题意有f'（x₀）=0，即，解得x₀=e或x₀=-3e（舍去）．
 ∴f（e）=0即，解得
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
f'（x）=
在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；
在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，
于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．
故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．
（Ⅲ）解：（x＞0）．
当a＞3e²时，则，当且仅当x= a-3e² 时等号成立，
故F（x）的最小值＞2e，符合题意；       
当a=3e²时，函数F（x）=x+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当a＜3e²时，函数在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数a的取值范围是（3e²，+∞）．