Question

10．设点A的坐标为（a，0）（a∈R），则曲线y²=2x上的点到A点的距离的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据题意，|PA|²=（x-a）²+y²，讨论a-1≥0和a-1＜0时|PA|的最小值，求出即可．

解答 解：设P（x，y）为y²=2x上任意一点，
则|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）
①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|_min=$\sqrt{2a-1}$；
②当a＜1时，x=0，|PA|_min=|a|；
综上，曲线y²=2x上的点到A点距离的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了抛物线的性质与应用问题，也考查了求函数最小值的应用问题，考查了分类讨论的应用问题，是中档题目．