Question

已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈（0，+∞），且有a^x=b^y=c^z和

1

x

+

1

z

=

2

y

，求证：a，b，c顺次成等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：设a^x=b^y=c^z=k则x=log_ak，y=log_bk，z=log_ck，代入根据对数的性质即可得到ac=b²，继而得以证明

解答： 解：设a^x=b^y=c^z=k
∴x=log_ak，y=log_bk，z=log_ck，
∴

1

x

=log_ka，

1

y

=log_kb，

1

z

=log_kc
∵

1

x

+

1

z

=

2

y

，
∴log_ka+log_kc=2log_kb
∴ac=b²，
∴a，b，c顺次成等比数列．

点评：本题考查了对数的运算性质，以及等比数列的等比中项的问题，属于基础题