【题目】已知函数(,且为自然对数的底数)
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)判断函数的奇偶性并证明;
(3)是否存在实数,使不等式对一切都成立?若存在,求出的范围,若不存在说明理由.
【答案】(1)增函数,证明见解析(2)奇函数,证明见解析(3)存在,
【解析】
(1)利用单调性的定义证明单调性;
(2)利用奇偶性的定义证明奇偶性;
(3)根据(1)(2)的结论脱去“f”,分离参数,转化为二次函数问题,求实数t的取值范围.
(1)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞),且x1<x2,
则f(x2)﹣f(x1),
又y=ex在R上为增函数且ex>0,
∴,∴,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数.
(2)∵函数f(x)=ex﹣e﹣x,x∈R,定义域关于原点对称,
又f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣(ex﹣e﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)由(1)(2)知f(x)在R上为奇函数且单调递增,由
可得:,
∴,
即:对一切都成立,
又
解得:.
综上存在实数,t的取值范围是.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
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【题目】定义在(0,+∞)上的函数f(x),对于任意的m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0.
(1)求证:1是函数f(x)的零点;
(2)求证:f(x)是(0,+∞)上的减函数;
(3)当f(2)=时,解不等式f(ax+4)>1.
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【题目】已知定义域是R上的奇函数.
(1)求a;
(2)判断在R上的单调性,并用定义法证明;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x方程有零点,求实数b的取值范围.
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【题目】从某食品厂生产的面包中抽取个,测量这些面包的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 | |||||
频数 |
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种面包质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定?”
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【题目】已知函数
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)写出f(x)的单调递增区间;
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若曲线上一点的极坐标为,且过点,求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点,与的交点为,求的最大值.
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