Question

（04年全国卷III文）(12分)

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求证 AB⊥BC ；

(II)如果 AB=BC=2，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小．

 

Answer 1

解析：⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.

∵PA＝PC　∴PO⊥AC　

又∵侧面PAC⊥底面ABC

∴PO⊥底面ABC

又PA＝PB＝PC　∴AO＝BO＝CO

∴△ABC为直角三角形　∴AB⊥BC

⑵解：作OD⊥PC于D, 连结BD

∵AB=BC=2, AB⊥BC,AO=CO　∴BO⊥AC, 侧面PAC⊥底面ABC

∴BO⊥侧面PAC, ∴BD⊥PC　

∴∠BDO为侧面PBC与侧面PAC所成二面角的平面角.

∵AB=BC=2, AB⊥BC,AO=CO

∴BO=CO=,PO= ∴

∴tg∠BDO= ∴∠BDO=

即侧面PBC与侧面PAC所成二面角为.