Question

将函数f（x）=sin

1

4

x•sin

1

4

（x+2π）•sin

1

2

（x+3π）-

1

2

cos²

π

2

在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,运用诱导公式化简求值,三角函数的最值

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先对三角关系式进行恒等变换变换成f（x）=-

1

4

sinx，进一步求出函数的导数，利用导数为零求出极值点，进一步求出等差数列的通项公式．
（Ⅱ）根据数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法来求数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin

1

4

x•sin

1

4

（x+2π）•sin

1

2

（x+3π）-

1

2

cos²

π

2

=sin

x

4

cos

x

4

（-cos

x

2

）=-

1

4

sinx
则：f′(x)=-

1

4

cosx
令f′(x)=-

1

4

cosx=0解得：x=kπ+

π

2

（k∈Z）
由于x在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N^*）．
a1=

π

2

   d=π
an=

(2n-1)

2

π
（Ⅱ）利用上一步的结论：bn=2nan=

π

2

(2n-1)2n
T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=

π

2

[1•21+3•22+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2ⁿ]①
2Tn=

π

2

[1•22+3•23+…+(2n-3)2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹]②
①-②得：-Tn=

π

2

[1•2+2•22+…+2•2n-(2n-1)2ⁿ⁺¹]
=

π

2

[2+

8•(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1]
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
所以：Tn=π[(2n-3)•2n+3]
故答案为：（Ⅰ）an=

(2n-1)

2

π
（Ⅱ）Tn=π[(2n-3)•2n+3]

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换，三角函数的性质应用，导数在极值中的应用，等差数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．