Question

【题目】设函数f(x)＝|ax－x2|＋2b(a，b∈R)．

(1)当b＝0时，若不等式f(x)≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)已知a为常数，且函数f(x)在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）[0，2]；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：恒成立，即，即得实数a的取值范围；（2）先分离转化为对应函数交点问题：x|a－x|＝－2b，根据a与[0，2]位置关系分类讨论，确定函数y=x|a－x|图像，再根据函数最大值与对称轴位置关系进行二级讨论，最终确定b的取值范围．

试题解析：(1)当b＝0时，若不等式x|a－x|≤2x在x∈[0，2]上恒成立；

当x＝0时，不等式恒成立，则a∈R；

当0<x≤2，则|a－x|≤2在(0，2]上恒成立，即－2≤x－a≤2在(0，2]上恒成立，

因为y＝x－a在(0，2]上单调增，ymax＝2－a，ymin>－a，则，解得：0≤a≤2；

则实数a的取值范围为[0，2]；

(2)函数f(x)在[0，2]上存在零点，即方程x|a－x|＝－2b在[0，2]上有解；

设h(x)＝

当a≤0时，则h(x)＝x2－ax，x∈[0，2]，且h(x)在[0，2]上单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝0，h(x)max＝h(2)＝4－2a，则当0≤－2b≤4－2a时，原方程有解，则a－2≤b≤0；

当a>0时，h(x)＝，h(x)在上单调增，在上单调减，在[a，＋∞)上单调增；

①当≥2，即a≥4时，h(x)max＝h(2)＝2a－4，h(x)min＝h(0)＝0，

则当0≤－2b≤2a－4时，原方程有解，则2－a≤b≤0；

②当<2≤a，即2≤a<4时，h(x)max＝h＝，h(x)min＝h(0)＝0，则当0≤－2b≤时，原方程有解，则－≤b≤0；

③当0<a<2时，h(x)max＝max＝max，h(x)min＝h(0)＝0，

当≥4－2a，即－4＋4≤a<2时，h(x)max＝，则当0≤－2b≤时，原方程有解，则－≤b≤0；

当<4－2a，即0<a<－4＋4时，h(x)max＝4－2a，则当0≤－2b≤4－2a时，原方程有解，则a－2≤b≤0；

综上，当a<－4＋4时，实数b的取值范围为[a－2，0]；

当－4＋4≤a<4时，实数b的取值范围为；

当a≥4时，实数b的取值范围为.