Question

14．在数列{a_n}中，
（1）若a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，则通项a_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+1
（2）若a₁=1，S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，则通项a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=a_n+n+1变形可知a_n+1-a_n=n+1，利用累加法计算即得结论；
（2）通过S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，利用a_n=S_n-S_n-1计算整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），进而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a₁=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₂-a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+2
=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-1，
又∵若a₁=2，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-1+2=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+1；
（2）∵S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{4}{2}$•$\frac{3}{1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+1，$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，考查累乘法与累加法，注意解题方法的积累，属于中档题．