已知函数f(x)=ekx(k是不为零的实数,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)与y=x2有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求k的值;
(2)若函数h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在区间内单调递减,求此时k的取值范围.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系.
专题:
导数的综合应用.
分析:
(1)设切点坐标,再代入两个解析式建立方程①,再由在切点处导数值相等列出方程②,联立方程求解;
(2)由题意求出h(x)解析式,再求出此函数的导数,根据区间关系求出k的范围,再对k分类:k<﹣1时和0<k<1时,再由条件和导数与函数单调性关系,分别列出等价条件,求出k的范围,最后并在一起.
解答:
解:(1)设曲线y=f(x)与y=x2有共同切线的公共点为P(x0,y0),
则 ①,
又∵y=f(x)与y=x2在点P(x0,y0)处有共同切线,
且f′(x)=kekx,(x2)′=2x,
∴ ②,
由①②解得,.
(2)由f(x)=ekx得,函数h(x)=(x2﹣2kx﹣2)ekx,
∴(h(x))′=[kx2+(2﹣2k2)x﹣4k]ekx
==.
又由区间知,,
解得0<k<1,或k<﹣1.
①当0<k<1时,
由(h(x))'=,得,
即函数h(x)的单调减区间为,
要使h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在区间内单调递减,
则有,解得.
②当k<﹣1时,
由(h(x))'=,得x<2k或,
即函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,2k)和,
要使h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在区间内单调递减,
则有,或,
这两个不等式组均无解.
综上,当时,
函数h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在区间内单调递减.
点评:
本题考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性关系,查了分类讨论思想和转化思想.
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