Question

已知抛物线C的方程为 y²=4x．
（Ⅰ）写出其焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）直线l过焦点F，斜率为1，交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）由题意可得直线AB的方程为y=x-1，联立

y2=4x y=x-1

，可得x²-6x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得，x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x₁+1+x₂+1，代入可求线段AB的长

解答： 解：（Ⅰ）由于抛物线C的方程为 y²=4x，
则焦点F（1，0），准线 l：x=-1；
（Ⅱ）由已知直线l的方程为y=x-1，
它和曲线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y2=4x y=x-1

消y得：x²-6x+1=0（*）
则△=32＞0，x₁+x₂=6，
由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=8．
所以，线段AB的长为8．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于中档题