Question

已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

且450°＜β＜540°，求cos2β和sin（

2π

3

+2β）．

Answer 1

分析：先利用余弦的两角和公式对题设等式化简整理求得cosβ的值，利用二倍角公式求得cos2β，进而利用同角三角函数基本关系及β的范围求得sin2β的值，进而利用正弦的两角和公式求得sin（

2π

3

+2β）的值．

解答：解：cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cos（α+β-α）=cosβ=-

4

5

∴cos2β=2cos²β=

7

25

∵450°＜β＜540°
∴900°＜2β＜1080°
∴sin2β=

1-( 7 25 )2

=

24

25

∴sin（

2π

3

+2β）=sin

2π

3

cos2β+cos

2π

3

sin2β=

24+7 3

50

．

点评：本题主要考查了两角和与差正弦和余弦，同角三角函数基本关系等知识点．考查了学生综合运用所学知识的能力．