Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“梦想区间”．若函数f(x)=a-

1

x

(a＞0)存在“梦想区间”，则a的取值范围是（　　）

• A．(

  4

  3

  ，2)
• B．(

  3

  2

  ，+∞)
• C．(

  1

  2

  ，

  5

  2

  )
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程x²-ax+1=0有两个同号的实数根，由△=（-a）²-4＞0，解不等式即可．

解答：解：由题意可得函数f(x)=a-

1

x

(a＞0)在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程a-

1

x

=x的两个同号的实数根，
即方程x²-ax+1=0有两个同号的实数根，注意到mn=1＞0，
故只需△=（-a）²-4＞0，解得a＞2或a＜-2，
结合a＞0，可得a＞2
故答案为 D

点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题．