Question

18．已知函数f（x）=ax²-（3a+1）x+2a+1（a∈R）．
（1）若f（x）≤0恒成立，试求a的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，易知f（x）=-x+1，再讨论当a≠0时可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（3a+1）^{2}-4a（2a+1）≤0}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简不等式[ax-（2a+1）]（x-1）＜0，从而分类讨论以求解不等式即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-x+1，f（x）≤0不可能恒成立；
当a≠0时，
$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（3a+1）^{2}-4a（2a+1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，a=-1．
（2）∵f（x）=ax²-（3a+1）x+2a+1＜0，
∴[ax-（2a+1）]（x-1）＜0，
当a＜-1时，$\frac{2a+1}{a}$＞1，
故不等式的解集为$（-∞，1）∪（\frac{2a+1}{a}，+∞）$；
当a=-1时，
故不等式的解集为{x|x≠1}；
当-1＜a＜0时，$\frac{2a+1}{a}$＜1，
故不等式的解集为$（-∞，\frac{2a+1}{a}）∪（1，+∞）$；
当a=0时，
不等式的解集为（1，+∞）；
当a＞0时，$\frac{2a+1}{a}$＞1；
故不等式的解集为$（{1，\frac{2a+1}{a}}）$．

点评 本题考查了恒成立问题与二次函数的性质的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，难点在于分类讨论的应用．