Question

（2006•咸安区模拟）△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-a，0），（a，0）（a＞0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k．
①若k=-1，则△ABC是直角三角形；
②若k=1，则△ABC是直角三角形；
③若k=-2，则△ABC是锐角三角形；
④若k=2，则△ABC是锐角三角形．
以上四个命题中正确命题的序号是

①、③

．

Answer 1

分析：设C（x，y）由题意可得，

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=k（y≠0），由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90°
①k=-1，可得x²+y²=a²，根据圆的性质可判断C
②k=1，可得x²-y²=1，而x²+y²=a²（y≠0）与x²-y²=1无公共点可判断C
③k=-2，可得

x2

a2

+

y2

2a2

=1，则C在在

x2

a2

+

y2

2a2

=1上，同时在圆x²+y²=a²（y≠0）外，从而可得C，而K_AC•K_BC＜0可得直线AC的倾斜角为锐角，BC的倾斜角为钝角，可判断B，A
④当k=2时可得，

x2

a2

-

y2

2a2

=1，同②可得C≠90°，由K_AC•K_BC＞0，根据两直线的倾斜角可判断A，B

解答：解：设C（x，y）由题意可得，

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=k（y≠0）
由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90°
①k=-1，可得x²+y²=a²，则∠C=

π

2

②k=1，可得x²-y²=1，而x²+y²=a²（y≠0）与x²-y²=1无公共点，即∠C≠

π

2

，A≠90°，B≠90°
③k=-2，可得

x2

a2

+

y2

2a2

=1，而x²+y²=a²（y≠0），则C在在

x2

a2

+

y2

2a2

=1上，同时在圆x²+y²=a²（y≠0）外，从而可得C＜90°，而K_AC•K_BC＜0可得直线AC的倾斜角为锐角，BC的倾斜角为钝角，故可得B＜90°，A＜90°
④当k=2时可得，

x2

a2

-

y2

2a2

=1，同②可得C≠90°，但由K_AC•K_BC＞0可得两直线的倾斜角同时为锐角（或钝角）从而可得A，B中有一个锐角一个钝角
故答案为：①③

点评：本题以轨迹方程的求解为切入点，主要考查了圆与椭圆、双曲线的性质的求解，解题的关键是灵活利用圆的性质及直线的倾斜角与斜率的关系．