Question

已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))，
(Ⅰ)若a=0，b=3，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当a=0时，若不等式f(x)+x³lnx+x²≥0对任意的正实数x恒成立，求b的取值范围；
(Ⅲ)若0＜a＜b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2，求证：直线OA与直线OB不可能垂直（O是坐标原点）．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=x³-3x²，f′(x)=3x²-6x，
∴k=-3，
又f(1)=-2，
∴所求切线方程为3x+y-1=0。
(Ⅱ)当a=0时，x²(x-b)+x³lnx+x²≥0，即b≤x+xlnx+1，
令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，
由g′(x)=0，得x=e^-2，

 由上表知g（x）的最小值为，
所以有。
(Ⅲ)假设，即，
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1，
由s，t为f′(x)=3x²-2(a+b)x+ab=0的两根可得，，
从而有，
，
即，这与a+b＜2矛盾，
故直线OA与直线OB不可能垂直。