Question

（08年华师一附中二次压轴理）甲、乙两人玩猜子游戏，每次甲出1子，2子或3子，由乙猜.若乙猜中，则甲所出之子归乙；若乙未猜中，则乙付给甲1子.已知甲出1子、2子或3子的概率分别为，，.

(Ⅰ)若乙每次猜1子，2子，3子的概率均为，求乙每次赢得子数的期望；

(Ⅱ)不论乙每次猜1子，2子，3子的概率如何，在一次游戏中甲、乙两人谁获胜的概率更大？试计算并证明之.

Answer 1

解析：(Ⅰ)设乙每次赢得的子数为ξ，则ξ的所有可能值为－1，1，2，3.

记事件A_i=甲出i子，事件B_i=乙猜甲出i子，i=1，2，3，则A_i，B_j为相互独立事件

∴P(ξ=i)=P(A_iB_i)=P(A_i)P(B_i)(i=1，2，3)

∴P(ξ=1) =P(A₁)P(B₁)=×=

P(ξ=2) =P(A₂)P(B₂)=×=

P(ξ=3) =P(A₃)P(B₃)=×=

∴P(ξ=－1)=1－P(ξ=1)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=

∴ξ的分布列为

ξ	－1	1	2	3
P

Eξ=－1×+1×+2×+3×=－

(Ⅱ)∵乙获胜的概率P=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)

=P(A₁)?P(B₁)+P(A₂)?P(B₂)+P(A₃)?P(B₃)

∴甲胜利的概率更大