Question

10．三棱锥A-BCD中，△BCD是边长为1的正三角形，点A在平面BCD上的射影为△BCD的中心，E，F分别是BC，BA的中点，EF⊥FD，则三棱锥A-BCD的体积为$\frac{\sqrt{2}}{24}$，直线AB与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据正三棱锥的性质得到AC⊥平面ABD，即AC⊥AB，设出AC=AB=AD=x，解出即可；
（2）得出P为底面三角形BCD的重心，求出∠ABP是直线AB与底面BCD所成的角，解三角形求出其正弦值即可．

解答 解：如图示：
，
∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，
而且底面BCD是正三角形，
∴三棱锥A-BCD是正三棱锥，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，
取BD的中点O，连接AO、CO，
∵四面体A-BCD是正三棱锥，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DF∩BD=D，∴AC⊥平面ABD，
∴AC⊥AB，
设AC=AB=AD=x，则x²+x²=1，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
V_C-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•AC=$\frac{1}{6}$AB•AD•AC=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，
取CD的中点M，连接BM交CO于P，连接AP，
∴P为底面三角形BCD的重心（即中心），
∴∠ABP是直线AB与底面BCD所成的角，
∵底面BCD为边长为1的正三角形，BM是CD边上的高，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=$\sqrt{{AB}^{2}{-BP}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴sin∠ABP=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{24}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了求三棱锥的体积问题，考查线面角问题，是一道难题．