Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知S△ABC=

3

2

3

，且b=2，c=3，O为△ABC的外心，则

OB

•

OC

=

-

7

6

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使其等于已知的面积，把b和c的值代入求出sinA的值，由三角形ABC为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，进而求出cos∠BAC的值，由O为三角形的外心，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠BAC的度数求出∠BOC的度数，由b，c及cos∠BAC的值，利用余弦定理求出a的值，设三角形的外接圆半径为r，由a，sinA，利用正弦定理求出r的值，即为|OB|与|OC|的长，最后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子，把各种的值代入即可求出值．

解答：解：∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

2

，b=2，c=3，
∴sin∠BAC=

3

2

，又△ABC为锐角三角形，
∴∠BAC=60°，cos∠BAC=

1

2

，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵b=2，c=3，cos∠BAC=

1

2

，
∴根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos∠BAC=4+9-6=7，
解得：a=

7

，
由正弦定理可得：2r=

a

sinA

=

2 21

3

，∴r=

21

3

，
则

OB

•

OC

=|OB|•|OC|cos∠BOC=

21

3

•

21

3

•cos120°=-

7

6

．
故答案为：-

7

6

点评：此题考查了三角形的面积公式，圆周角定理，正弦定理，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．