已知点(
,
是常数),且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)(i)已知点,若曲线
上存在不同两点
、
满足
,求实数
的取值范围;
(ii)当时,抛物线
上是否存在异于
、
的点
,使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线,若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)动点的轨迹
的方程为
;(2)(i)实数
的取值范围是
;
(ii)详见解析.
解析试题分析:(1)首先由题意得到动点到直线
和动点
到点
的距离相等,从而得到动点
的轨迹是以点
为焦点,以直线
为准线的抛物线,从而求出轨迹
的方程;(2)(i)先由
得到点
为线段
的中点,并设点
,从而得到
,并设直线
的方程为
,与抛物线的方程联立,结合
与韦达定理在
中消去
,从而求解参数
的取值范围;(ii)先假设点
存在,先利用(i)中的条件求出点
、
两点的坐标,并设点
的坐标为
,设圆的圆心坐标为
,利用
、
、
三点为圆
上的点,得到
及
,利用两点间的距离公式得到方程组,在方程组得到
、
与
的关系式,然后利用导数求出抛物线
在点
的切线的斜率,利用切线与圆
的半径
垂直,得到两直线斜率之间的关系,进而求出
的值,从而求出点
的坐标.
试题解析:(1);
(2)(i)设,
两点的坐标为
,且
,
∵,可得
为
的中点,即
.
显然直线与
轴不垂直,设直线
的方程为
,即
,
将代入
中,得
. 2分
∴ ∴
. 故
的取值范围为
.
(ii)当时,由(i)求得
,
的坐标分别为
假设抛物线上存在点
(
且
),使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线.设圆的圆心坐标为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,设F(-c,0)是椭圆的左焦点,直线l:x=-
与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程。
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如图,过点的两直线与抛物线
相切于A、B两点, AD、BC垂直于直线
,垂足分别为D、C.
(1)若,求矩形ABCD面积;
(2)若,求矩形ABCD面积的最大值.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线经过点
(0,1),且与椭圆C交于
两点,若
,求直线
的方程.
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如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
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在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,下顶点为
,线段
的中点为
(
为坐标原点),如图.若抛物线
:
与
轴的交点为
,且经过
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
上的一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
、
两点,求
面积的最大值.
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