Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）求证：AC⊥BC₁.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）证明见解析.

解析试题分析：（1）设BC₁与CB₁交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC₁，利用线面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁;（2）要证明AC⊥BC₁,可以先证明直线AC⊥平面BCC₁B₁, 在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC,∵C₁C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，∴AC⊥C₁C,又∵C₁CÌ平面BB₁C₁C，BCÌ平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，∴AC⊥平面BB₁C₁C．
试题解析：（1）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点,
在△ABC₁中，连接OD，
∵D，O分别为AB，BC₁的中点，
∴OD为△ABC₁的中位线，
∴OD∥AC₁，
又∵AC₁Ú平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁;
（2）在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC,
∵C₁C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，
∴AC⊥C₁C,          
又∵C₁CÌ平面BB₁C₁C，BCÌ平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C,
又∵BC₁Ì平面BB₁C₁C，
∴AC⊥BC₁.
考点：1.直线与平面平行的判定；2.异面直线垂直．