Question

4．设集合A₁，A₂，A₃…A_n中元素的个数分别为1，2，3，…n，…，现从A_n，A_n+1，A_n+2，A_n+3中各取一个元素，记不同取法种数为f（n）．
（1）求f（1）；
（2）是否存在常数a，b，使得f（1）+f（2）+…+f（n）=a（n+2）⁵-（n+2）³+b（n+2）对任意n∈N^*总成立？若存在，请求出a，b的值，并用数字归纳法证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得到f（n）=n（n+1）（n+2）（n+3），继而求出f（1）的值；
（2）假设存在a，b，使得所给等式成立．通过n=1，2，列出方程组，求出a，b即可．然后用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．

解答 解：（1）A_n，A_n+1，A_n+2，A_n+3中各取一个元素，记不同取法种数为f（n），
则f（n）=n（n+1）（n+2）（n+3），
∴f（1）=1×2×3×4=24；
（2）假设存在常数a，b使f（1）+f（2）+…+f（n）=a（n+2）⁵-（n+2）³+b（n+2）对任意n∈N^*总成立，
令n=1与n=2得：
f（2）=2×3×4×5=120，
f（1）=3⁵a-27+3b=24，f（1）+f（2）=4⁵a-4³+4b=24+120，
解得a=$\frac{1}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，
即f（1）+f（2）+…+f（n）=A₄⁴[C₄⁴+C₅⁴+C₆⁴+…C_n+3⁴]=A₄⁴[C₅⁵+C₅⁴+C₆⁴+…C_n+3⁴]
=${A}_{4}^{4}•{C}_{n+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（n+2）⁵-（n+2）³+$\frac{4}{5}$（n+2）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由以上可知等式成立；
②假设当n=k时成立，即f（1）+f（2）+…+f（k）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（k+2）⁵-（k+2）³+$\frac{4}{5}$（k+2），
那么当n=k+1时，f（1）+f（2）+…+f（k）+f（k+1）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+5}^{5}$，
而$\frac{1}{5}$（k+1+2）⁵-（k+1+2）³+$\frac{4}{5}$（k+1+2）
=$\frac{1}{5}（k+2）^{5}+（k+2）^{4}+2（k+2）^{3}+2（k+2）^{2}+（k+2）+1$$-\frac{4}{5}$-（k+2）³-3（k+2）²-3（k+2）-1$+\frac{4}{5}（k+2）+\frac{4}{5}$．
=$\frac{1}{5}$（k+2）⁵-（k+2）³+$\frac{4}{5}$（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+4}^{5}$+（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+5}^{5}$．
∴当n=k+1时等式也成立．
综①②所述，等式f（1）+f（2）+…+f（n）=${A}_{4}^{4}•{C}_{n+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（n+2）⁵-（n+2）³+$\frac{4}{5}$（n+2）对任何对任意n∈N^*总成立．

点评 本题是探索性命题，它通过观察归纳、猜想、证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力，是中档题．