Question

7．已知以F为焦点的抛物线y²=4x上的两点A，B满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则弦AB中点到抛物线准线的距离为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 设BF=m，由抛物线的定义知AA₁和BB₁，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x₁+x₂的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．

解答 解：设BF=m，由抛物线的定义知
AA₁=2m，BB₁=m
∴△ABC中，AC=m，AB=3m，
∴k_AB=2$\sqrt{2}$
直线AB方程为y=2$\sqrt{2}$（x-1）
与抛物线方程联立消y得2x²-5x+2=0
所以AB中点到准线距离为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+1=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．