Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）证明{a_n}是等差数列并求数列的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：令n=1可得a₁=1或a₁=2，因为a₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=，可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，根据题意可得：a_n+1=-a_n不成立．所以a_n+1-a_n-3=0．再集合等差数列的定义可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：由题意可得：a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，
因为a₁=S₁＞1，所以a₁=2．
（Ⅱ）由a_n+1=S_n+1-S_n=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，
因为数列{a_n}的各项均为正数，
所以a_n+1=-a_n不成立，故舍去．
所以a_n+1-a_n-3=0．
根据等差数列的定义可得：{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
所以{a_n}的通项为a_n=3n-1．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的定义域等差数列的通项公式，以及利用赋值法解决数列问题．