Question

已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

 

Answer 1

（1）＝1（2）

【解析】(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3 ＋＝c2，即y0＝c，∴x0＝c，

∴点A的坐标为，代入双曲线方程得

＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，

∴3 4－8 2＋4＝0，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，

∴双曲线的离心率为.