Question

如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：
 
(1)求三棱锥C－BOD的体积；
(2)求证：CB⊥DE；
(3)在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）见解析（3）G为的中点

(1)∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C＝，
∵∠CAB＝，∴AC＝BC，
∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，
∵AB＝2，∴CO＝1.
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.
∴CO就是点C到平面BOD的距离，
S_△BOD＝S_△ABD＝××1×＝，
∴V_C－BOD＝S_△BOD·CO＝××1＝.
(2)证明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，
∴△AOD为正三角形，
又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴DE⊥平面ABC.
又CB?平面ABC，∴CB⊥DE.
(3)存在满足题意的点G，G为的中点．证明如下：

连接OG，OF，FG，
易知OG⊥BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD.
在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，
∴OF∥AC，
∴OF∥平面ACD，
∵OG∩OF＝O，
∴平面OFG∥平面ACD.
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD.