【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时, 求函数
在区间
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)单调增区间为,单调减区间为
;(Ⅱ)见解析.
【解析】【试题分析】(1)借助题设条件导数与函数的单调性之间的关系求解;(2)先确定函数的极大值,再运用分类整合思想分析求解:
(Ⅰ)由得
,
令,得
,
的情况如下表:
+ | 0 | 0 | + | ||
极大 | 极小 |
所以函数的单调区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由可得
.
当即
时,由(Ⅰ)可得
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
所以,函数在区间
上的最大值为
,
又由(Ⅰ)可知,
所以;
当,即
时,由(Ⅰ)可得
在
上单调递减,
在
上的最大值为
.
当,即
时,由(Ⅰ)可得
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,函数在区间
上的最大值为
,
法1:因为,
所以.
法2:因为,
所以由(Ⅰ)可知,
,
所以,
所以.
法3:设,则
,
的在
上的情况如下表:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | ||||
极大 |
所以,当时,
,
所以,即
所以
.
综上讨论,可知:
当时,函数
在区间
上的最大值为
;
当时,函数
在区间
上的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为
,其中装有体积为
的水(
:单位:
).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后,乙容器中含有纯酒精
(单位:
),下列关于数列
的说法正确的是( )
A. 当时,数列
有最大值
B. 设,则数列
为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.
图中,课程为人文类课程,课程
为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组
”).
(Ⅰ)在“组”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)某地举办自然科学营活动,学校要求:参加活动的学生只能是“组”中选择
课
程或课程的同学,并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择
课程的学生中有
人参加科学营活动,每人需缴纳
元,选择
课程的学生中有
人参加该活动,每人需缴纳
元.记选择
课程和
课程的学生自愿报名人数的情况为
,参加活动的学生缴纳费用总和为
元.
①当时,写出
的所有可能取值;
②若选择课程的同学都参加科学营活动,求
元的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)与
轴交于
,
两点,
为椭圆
的左焦点,且
是边长为2的等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴交于点
,求
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
与直线
相交于
两点,使得四边形
为面积等于
的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点
(不在
轴上)作圆
的两条切线
,切点分别为
,直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,求
的面积
的取值范围.
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