Question

5．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且|OA|=1，|OB|=2，|OC|=3，G为△ABC的重心，则$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用重心的性质和向量的三角形法则可得出$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），再由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．

解答 解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．
∵点G是底面△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$），
$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
则$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）
=$\frac{1}{3}$[（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）²-$\overrightarrow{OC}$²]=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$²）
=$\frac{1}{3}$（1+4+0-9）=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查重心的性质和向量的三角形法则，考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，属于中档题．