Question

11．设二次函数f（x）在[-1，4]上的最大值为12，且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若$g（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，求函数h（x）=f（g（x））的值域；
（3）若对任意的实数x都有f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式f（x）=ax（x-5），且a＞0，由二次函数的最值的求法，得到方程解出即可；
（2）运用正弦函数的性质，可得$g（x）∈[-\frac{3}{2}，3]$，再由二次函数的值域求法，即可得到h（x）的值域；
（3）令t=1-cosx，则0≤t≤2，即有cosx=1-t，由题意可得4t²-10t＜（t-m）²-5（t-m）即有（m+t）（3t-m-5）＜0在0≤t≤2恒成立，代入0和2，解不等式组即可得到所求范围．

解答 解：（1）由f（x）＜0的解集为（0，5），
设二次函数的解析式为f（x）=ax（x-5），且a＞0，
再根据在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=6a=12，求得a=2，
可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x；
（2）$f（x）=2{（x-\frac{5}{2}）^2}-\frac{25}{2}$，
由$g（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，
可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，即有sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即有$g（x）∈[-\frac{3}{2}，3]$，
则g（x）=$\frac{5}{2}$时，f（g（x））取得最小值；g（x）=-$\frac{3}{2}$时，f（g（x））取得最大值．
即$f{（g（x））_{max}}=\frac{39}{2}$，$f{（g（x））_{min}}=-\frac{25}{2}$，
∴h（x）=f（g（x））的值域为$[-\frac{25}{2}，\frac{39}{2}]$；
（3）设t=1-cosx，则0≤t≤2，即有cosx=1-t，
∴f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m），
即有f（2t）＜f（t-m），
即4t²-10t＜（t-m）²-5（t-m）
即有（m+t）（3t-m-5）＜0在0≤t≤2恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}m（-m-5）＜0\\（1-m）（2+m）＜0\end{array}\right.$，
∴实数m的取值范围为{m|m＞1或m＜-5}．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，求函数的值域，求参数的范围，注意运用待定系数法和换元法，考查转化思想，是一道中档题．