Question

某人要建造一间地面面积为24m²、墙高为3m，一面靠旧墙的矩形房屋．利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x（单位：m）不得超过a（单位：m）（其平面示意图如图）．已知旧墙的维修费用为150元/m²，新墙的造价为450元/m²，屋顶和地面的造价费用合计为5400元（不计门、窗的造价）．
（1）把房屋总造价y（单位：元）表示成x（单位：m）的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

Answer 1

分析：（1）篱笆由三部分构成，先表示出篱笆的宽，然后把篱笆总造价y元表示成x米的函数，根据篱笆正面的长度x米，不得超过a米，正面有一扇1米宽的门，可求出定义域；
（2）讨论a与6的大小，当a＞6时利用基本不等式进行求最值，当1＜a≤6时利用导数法求出最值，注意解题格式即可．

解答：解：（1）依题意得：y=3x（150+450）+

24

x

×2×3×450+5400=1800（x+

36

x

）+5400（0＜x≤a）
（2）y=1800（x+

36

x

）+5400≥1800×2

x• 36 x

+5400=21600+5400=27000   
当且仅当x=

36

x

，即x=6时取等号
若a＞6时，则x=6总进价最低，最低总造价是27000元．
当1＜a≤6时，则y′=1800（1-

36

x2

）
∴当0＜x＜6时，y′＜0，故函数y=1800（x+

36

x

）+5400在（0，a]上是减函数，
∴当x=a时，y有最小值，即最低总造价为1800（a+

36

a

）+5400元
答：当a＞6时，x=6总造价最低，最低总造价是27000元；
当a≤6时，x=a总造价最低，最低总造价为1800（a+

36

a

）+5400元．

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键．