Question

已知函数f（x）=（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；
（2）解不等式f^-1（x²-2）＞f（x）．

Answer 1

解：（1）为使函数有意义，需满足a-a^x＞0，即a^x＜a，又a＞1，∴x＜1，即函数定义域为（-∞，1）．
又由＜log_aa=1，
∴f（x）＜1，
∴函数的值域为（-∞，1）．
设x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=-=＞log_a1=0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，1）上是减函数． …（6分）
（2）设y=，则a^y=a-a^x，∴a^x=a-a^y，∴x=．
∴f（x）=的反函数为f^-1（x）=（x＜1）．
由f^-1（x²-2）＞f（x），得f（x²-2）＞f（x），
∴解得-1＜x＜1．
故所求不等式的解为{x|-1＜x＜1}． …（12分）
分析：（1）为使函数有意义，需满足真数大于0，从而可确定函数定义域；根据＜log_aa=1，可得函数的值域；利用单调性的定义可判断f（x）在（-∞，1）上是减函数；
（2）求出函数f（x）=的反函数，将f^-1（x²-2）＞f（x）转化为f（x²-2）＞f（x），利用函数的单调性，即可得到结论．
点评：本题考查对数函数的定义域与值域，考查函数的单调性，考查反函数，考查不等式的解法，确定函数的单调性是解题的关键．