Question

设函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围为（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-2，2）

C．（-1，1）

D．（-1，+∞）

Answer 1

f（x）=|x²+2x-1|=|（x+1）²-2|，图象为对称轴为x=-1抛物线，然后把x轴下方的图形关于x轴翻折上去，
设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=-1时取得，f（-1）=2
由f（x）=|x²+2x-1|=2，可得x=-3或者1，
∴-3＜a＜x₁＜b＜-1，
若a＜b＜-1且f（a）=f（b），
此时a²+2a-1＞0，b²+2b-1＜0
那么有a²+2a-1=-（b²+2b-1）
解得：a+b=1-

a2+b2

2

∴ab+a+b=ab+1-

a2+b2

2

=1-

(a-b)2

2

．
∵-3＜a＜b＜-1，
∴0＜b-a＜（-1）-（-3）=2
∴0＜（b-a）²＜4
∴-1＜1-

(a-b)2

2

＜1
即：-1＜ab+a+b＜1
故答案为：（-1，1）．