【题目】已知数列{an}中,a1=4,an+1= ,n∈N* , Sn为{an}的前n项和.
(Ⅰ)求证:n∈N*时,an>an+1;
(Ⅱ)求证:n∈N*时,2≤Sn﹣2n< .
【答案】证明:(I)n≥2时,作差:an+1﹣an= ﹣ = ,
∴an+1﹣an与an﹣an﹣1同号,
由a1=4,可得a2= = ,可得a2﹣a1<0,
∴n∈N*时,an>an+1.
(II)∵2 =6+an,∴ =an﹣2,即2(an+1﹣2)(an+1+2)=an﹣2,①
∴an+1﹣2与an﹣2同号,
又∵a1﹣2=2>0,∴an>2.
∴Sn=a1+a2+…+an≥4+2(n﹣1)=2n+2.
∴Sn﹣2n≥2.
由①可得: = ,
因此an﹣2≤(a1﹣2) ,即an≤2+2× .
∴Sn=a1+a2+…+an≤2n+2× <2n+ .
综上可得:n∈N*时,2≤Sn﹣2n<
【解析】(I)n≥2时,作差:an+1﹣an= ,可得an+1﹣an与an﹣an﹣1同号,由a2﹣a1<0,即可证明:n∈N*时,an>an+1.(II)2 =6+an,∴可得=an﹣2,即2(an+1﹣2)(an+1+2)=an﹣2,因此an+1﹣2与an﹣2同号,可得Sn=a1+a2+…+an≥4+2(n﹣1).即可证明左边.由: = ,可得:an≤2+2× .利用等比数列的求和公式化简即可证明右边.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则判断框内m的取值范围是( )
A.(30,42]
B.(42,56]
C.(56,72]
D.(30,72)
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【题目】某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为:(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),…,若程序运行中输出一个数组是(x,﹣10),则数组中的x=( )
A.16
B.32
C.64
D.128
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)存在一条切线与直线y=x平行,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,若f(x)在[a,2]上的最大值为﹣ ,求a的值.
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【题目】在△ABC中,不等式 + ≥ 成立;在四边形ABCD中,不等式 + + + ≥ 成立成立;在五边形ABCDE中,不等式 + + + + ≥ 成立…,依此类推,在n边形A1A2…An中,不等式不等式 ≥成立.
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【题目】已知函数f(x)=xex﹣lnx(ln2≈﹣0.693, ≈1.648,均为不足近似值)
(1)当x≥1时,判断函数f(x)的单调性;
(2)证明:当x>0时,不等式f(x)> 恒成立.
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【题目】已知函数 |﹣ |,其中﹣3≤a≤1.
(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)≥1;
(Ⅱ)对于任意α∈[﹣3,1],不等式f(x)≥m的解集为空集,求实数m的取值范围.
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