Question

  已知函数f（x）=（k为常数，e=2．71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（l,f（l））处的切线与x轴平行．

  （Ⅰ）求k的值；

  （Ⅱ）求f（x）的单调区间；

  （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意0<x<1，g（x）<1 +e^－2

Answer 1

解：（I），

由已知，，∴.

（II）由（I）知，.

设，则，即在上是减函数.

由知，当时，从而；

当时，从而.

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.………………（8分）

（III）由（II）可知当时，中的分母＞1，且，

∴.

设，，则.

当时，；当时，.

所以，当时，取得最大值.

所以.

综上，对任意，.