Question

已知f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）（ω＞0）最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调递增区间及对称中心坐标；
（2）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式为 2sin（2ωx-

π

6

）+1，由周期求得ω=1，可得f（x）=
2sin（2x-

π

6

）+1，由此求得函数的增区间以及对称中心．
（2）由0≤x≤

2π

3

，可得≤2x-

π

6

≤

7π

6

，得到-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，由此求得 f（x） 的值域．

解答：解：（1）f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）=1-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵T=

2π

ω

=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
令  2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故函数的对称中心为 （

kπ

2

+

π

12

，0），k∈z．
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴0≤f（x）≤3，
故函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围是[0，3]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．