【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AH⊥CD于H,BD交AH于P,且PC⊥BC
(1)求证:A,B,C,P四点共圆;
(2)若∠CAD= ,AB=1,求四边形ABCP的面积.
【答案】
(1)证明:∵AC=AD,AH⊥CD,∴∠CAD=∠DAP,
从而△ACP≌△ADP,得∠ACP=∠ADP.
又AB=AD,故∠ADP=∠ABP,
从而∠ABP=∠ACP,可知A,B,C,P四点共圆;
(2)解:由AC=AD, ,从而△ACD是边长为1的等边三角形,
又AH⊥CD,故 .
由(1)知A,B,C,P四点共圆,又 ,故 ,
从而 ,故△ABC也是边长为1的等边三角形,
由PC⊥BC, ,得 ,
知CP,AH为等边三角形的角平分线,从而P为△ACD的中心.
故此时SABCP=S△ABC+S△ACP= .
【解析】(1)由已知AC=AD,AH⊥CD可得△ACP≌△ADP,得∠ACP=∠ADP.再由AB=AD,得∠ADP=∠ABP,进一步得到∠ABP=∠ACP,可知A,B,C,P四点共圆;(2)由AC=AD, ,得△ACD是边长为1的等边三角形,结合AH⊥CD,得 .再结合A,B,C,P四点共圆, ,得 ,即△ABC也是边长为1的等边三角形,进一步得到P为△ACD的中心.可得SABCP=S△ABC+S△ACP= .
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【题目】已知函数f(x)=4x+a2x+3,a∈R
(1)当a=﹣4时,且x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x+ +lnx,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;
(3)讨论函数g(x)=f′(x)﹣x的零点个数.
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【题目】关于函数f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题:
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②在区间(﹣∞,0)上,函数y=f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值为lg2;
④在区间(1,+∞)上,函数f(x)是增函数.
其中正确命题序号为 .
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【题目】据统计,2016年“双十”天猫总成交金额突破1207亿元.某购物网站为优化营销策略,对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者(其中有女性800名,男性200名)进行抽样分析.采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析,得到下表:(消费金额单位:元)
女性消费情况:
消费金额 | |||||
人数 | 5 | 10 | 15 | 47 |
男性消费情况:
消费金额 | |||||
人数 | 2 | 3 | 10 | 2 |
(1)计算,的值;在抽出的100名且消费金额在(单位:元)的网购者中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率;
(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”,低于600元的网购者为“非网购达人”,根据以上统计数据填写列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”
女性 | 男性 | 总计 | |
网购达人 | |||
非网购达人 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(,其中)
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【题目】已知函数f(x)=2x2﹣4x+a,g(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若函数f(x)在[﹣1,2m]上不具有单调性,求实数m的取值范围;
(2)若f(1)=g(1).
(ⅰ)求实数a的值;
(ⅱ)设 ,t2=g(x), ,当x∈(0,1)时,试比较t1 , t2 , t3的大小.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线的参数方程为(为参数),圆的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于两点,若点的直角坐标为,求的值.
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【题目】某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往,甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7折优惠。”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的7.5折优惠。”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠。
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