Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函数f（x）在（2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\frac{3}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围，
（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函数f（x）在（2，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$≥0对x∈（2，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈（2，+∞）恒成立，即a≥$\frac{1}{x}$对x∈（2，+∞）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{2}$；
（2）当a=1时，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，1）上单调递减；
当x∈（1，$\frac{3}{2}$]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上有唯一极小值点，故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
又f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{3}$+ln$\frac{3}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{3}{2}$）=1-ln2+$\frac{1}{3}$-ln$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{3}$-ln3，
∵e^，4＞27
∴f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{3}{2}$）＞0，即f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{3}{2}$）
∴f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的最大值f（x）max=f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的最大值是1-ln2，最小值是0．

点评 此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．