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如图,已知直线L:x=my+1过椭圆C:的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线G:x=a2上的射影依次为点D,K,E,
(1)已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点.
①求椭圆C的方程;
②若直线L交y轴于点M,且,当m变化时,求λ12的值;
(2)连接AE,BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标并给予证明;否则说明理由.

【答案】分析:(1)由题设条件知c=1,a2=b2+c2=4,椭圆C的方程为,再由l与y轴交于M,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,知(3m2+4)y2+6my-9=0,△=144(m2+1)>0,然后由根与系数的关系能求出λ12的值;
(2)由F(1,0),k=(a2,0),先探索m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED由对称性知,AE与BD相交FK中点N,且,再猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点.然后结合题设条猜想进行证明.
解答:解:(1)易知,∴b2=3,又F(1,0),∴c=1,a2=b2+c2=4
∴椭圆C的方程为(3分)
∵l与y轴交于M
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
∴(3m2+4)y2+6my-9=0,△=144(m2+1)>0∴(5分)
又由,∴
同理
(8分)

(3)∵F(1,0),k=(a2,0),
先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED由对称性知,AE与BD相交FK中点N,且
猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点(9分)
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1
当m变化时首先AE过定点N
,即(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0
又△=4a2b2(a2+m2b2-1)>0(a>1)
又KAN=
而KAN-KEN=
=
∴KAN=KEN,∴A、N、E三点共线,
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点(13分)
点评:本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行猜想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l:x=my+1过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦点F,抛物线:x2=4
3
y
的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K、E.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l交y轴于点M,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,当m变化时,探求λ12的值是否为定值?若是,求出λ12的值,否则,说明理由;
(Ⅲ)连接AE、BD,试证明当m变化时,直线AE与BD相交于定点N(
5
2
,0)

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如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2
(Ⅰ)若P为抛物线的焦点,求a的值,并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系.
(Ⅱ)试证明:k1+k2为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知直线L:x=my+1过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线G:x=a2上的射影依次为点D,K,E.
(1)若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;
(2)连接AE,BD,证明:当m变化时,直线AE、BD相交于一定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•乐山二模)如图,已知直线L:x=my+1过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线G;x=a2上的射影依次为点D、K、E,若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线L交y轴于点M,
MA
1
AF
MB
2
BF
,当M变化时,求λ12的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知直线L:x=my+1过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线G:x=a2上的射影依次为点D、E.
(1)若抛物线x2=4
3
y
的焦点为椭圆C 的上顶点,求椭圆C的方程;(2)(理科生做)连接AE、BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;
否则说明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
为x轴上一点,求证:
AN
NE

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