Question

下面是关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
p₁：?a₁∈R，数列{a_n}是递增数列；
P₂：?a₁∈R，数列{na_n}是递增数列；
p₃：?a₁∈R，使得数列{n²+a_n]是递减数列；
p₄：?a₁∈R，使得数列{

an

n

]是递减数列；
其中真命题为（　　）

• A、p₁，p2
• B、p₃，p₄
• C、p₂，p₃
• D、p₁，p₄

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,等差数列与等比数列

分析：求出数列{a_n}的通项公式，d＞0，所以数列{a_n}是递增数列，可判断p₁；
求出na_n的关系式，由二次函数的单调性，即可判断p₂；
求出n²+a_n=n²+dn+（a₁-d）．根据二次函数的单调性，即可判断p₃；
求出

an

n

=d+

a1-d

n

，讨论当a₁-d＞0时，数列的单调性，即可判断p₄．

解答： 解：由于{a_n}是公差d＞0的等差数列，
可得a_n=a₁+（n-1）d=dn+（a₁-d）．
对于p₁．因为d＞0，所以数列{a_n}是递增数列，p₁为真；
对于p₂．na_n=dn²+n（a₁-d），则为二次函数形式，不为单调数列，p₂为假；
对于p₃．n²+a_n=n²+dn+（a₁-d）．对称轴为-

d

2

＜0，在定义域上递增，p₃假；
对于p₄.

an

n

=d+

a1-d

n

，当a₁-d＞0时，数列{

an

n

}是递减数列，p₄为真．
故选D．

点评：本题考查数列的单调性，考查简易逻辑的全称性和存在性命题的真假，考查推理和判断能力，属于中档题和易错题．