精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（ $数学公式$ ）|对一切x∈R恒成立，则
①f（ $数学公式$ ）=0；　②|f（ $数学公式$ ）|＜|f（ $数学公式$ ）|；
③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+ $数学公式$ ，kπ+ $数学公式$ ]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①③⑤
分析：由辅助角公式，化简得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+θ），结合已知不等式得f（ $\text{[math]}$ ）是函数的最大或最小值，从而得到
f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ +kπ）=± $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
解答：f（x）=asin2x+bcos2x= $\text{[math]}$ sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ= $\text{[math]}$ ，sinθ= $\text{[math]}$
∵f（x）≤|f（ $\text{[math]}$ ）|对一切x∈R恒成立，
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，得2× $\text{[math]}$ +θ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
因此θ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z．f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ +kπ）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）或- $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
对于①，因为sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=sin2π=0，所以f（ $\text{[math]}$ ）=± $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=0，故①正确；
对于②，|f（ $\text{[math]}$ ）|=| $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵|f（ $\text{[math]}$ ）|=| $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴|f（ $\text{[math]}$ ）|＞|f（ $\text{[math]}$ ）|，故②不正确；
对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）或- $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
表达式不确定，故[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞ $\text{[math]}$ ，平方得b²＞a²+b²矛盾，故假设不成立
∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．

练习册系列答案

天利38套对接中考单元专题双测卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f（a_n+1）=

f(-2-an)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a _n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a_n＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a₁=f（0），不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f（x）=

3x-1

x+1

．
（1）已知s=-t+