Question

当x在实数集R上任取值时，函数f（x）相应的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值．
（1）求f（0）与f（3）；
（2）画出f（x）的图象，写出f（x）的解析式；
（3）证明f（x）是偶函数；
（4）写出f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（0）=2，f（3）=6．
（2）f（x）=
（3）当x＞1时，-x＜-1，所以f（-x）=-2（-x）=2x，f（x）=2x，有f（-x）=f（x）；
当x＜-1时，-x＞1，所以f（-x）=2（-x）=-2x，f（x）=-2x，有f（-x）=f（x）；
当-1≤x≤1时，f（-x）=2=f（x）．
综上所述，对定义域中任意一个自变量x都有f（-x）=f（x）成立．
所以f（x）是偶函数．
（4）观察图象得，函数的值域为：[2，+∞）．
分析：（1）当x=0时，分别计算出2x、2、-2x三个之中最大的那个值即为f（0），同理坟出f（3）=6．
（2）先根据函数f（x）相应的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值利用分段函数的形式写出f（x）的表达式，再分段画出其图象；
（3）当x＞1时，证明f（x）=f（-x）；当当x＜-1时，证明f（x）=f（-x），当-1≤x≤1时，f（-x）=2=f（x）．综上所述，对定义域中任意一个自变量x都有f（-x）=f（x）成立，从而得出f（x）是偶函数．
（4）观察图象得，函数的值域为：[2，+∞）．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．