Question

如图，ABCD是正方形，E、F分别是AD、BC边上的点，EF∥AB，EF交AC于点O，以EF为棱把它折成直二面角A-EF-D后，求证：不论EF怎样移动，∠AOC是定值.

Answer 1

思路解析:本题作出二面角后用余弦定理求解.

证明：设AB＝a，CF＝DE＝x，则FO＝x，AE＝EO＝a-x.

在Rt△AEO中，

AO²＝AE²＋EO²＝2(a-x)²，同理,OC²＝2x².

在△CFO中，CF⊥EF.

又二面角A-EF-D为直二面角，

∴CF⊥平面ABFE，∠CFA＝90°，

AF²＝AB²＋BF²＝a²＋(a-x)².

∴AC²＝AF²＋CF²＝a²＋(a-x)²＋x².

∴cos∠AOC＝，

∴∠AOC＝120°是定值.