Question

已知函数f（x）=|x|（x-m）（m＞0），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两问题．
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：根据绝对值的意义，将函数化简为分段函数表达式：f（x）=

x(x-m)，x≥0 -x(x-m)，x＜0

，（m＞0），从而得到函数图象是开口向下的抛物线在y轴的左侧的部分，和开口向上的抛物线在y轴右侧的部分拼接而成．
（1）结合作出的图象，不难得到函数在R上有三个单调区间；
（2）讨论m的范围，即当m≥

1

2

时，当m＜

1

2

时，由图象即可得到最大值．

解答： 解：f（x）=|x|（x-m）=

x(x-m)，x≥0 -x(x-m)，x＜0

，（m＞0），图象如右：
（1）由图象可得，f（x）的增区间为：（-∞，0），（

m

2

，+∞），
减区间为（0，

m

2

）；
（2）结合f（x）的图象，可得
当m≥

1

2

时f（x）在[-1，

1

2

]上，当x=0时，取最大值0；
当m＜

1

2

时，f（x）在[-1，

1

2

]上，当x=

1

2

时，取最大值

1

4

-

1

2

m．

点评：本题借助于一个含有绝对值函数的图象的作法问题，着重考查了函数图象的作法、二次函数的图象与性质和函数最值等知识点，属于中档题．