Question

在平面内有n（n∈N^*，n≥3）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f（n）个平面区域，则f（6）等于（　　）

• A、18
• B、22
• C、24
• D、32

Answer 1

分析：先求出几个特殊的值，再分析前k条直线与第k+1条直线，把平面分成的区域之间的关系，归纳出关系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根据数列求和求出f（n）的关系式，再求出f（6）的值．

解答：解：一条直线（k=1）把平面分成了2部分，记为f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，
∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n=1）=n，把这n-1个等式累加，得
f（n）-f（1）=2+3+…+n=

(n+2)(n-1)

2

，∴f（n）=2+

(n+2)(n-1)

2

部分．
当n=6时，f（16）=2+20=22部分．
故选B．

点评：本题考查了数学归纳法的应用，关键是找出第k项和第k+1项之间的关系，再利用数列求和求出f（n）的关系式，考查了分析问题和解决问题的能力．