分析 (1)运用n=1时,S1=a1,n>1时,an=Sn-Sn-1,可得an=2+2(n-1)=2n,再由等比数列的通项公式,即可得到bn=2•2n-1=2n;
(2)求得cn=an+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$,再作差,可得cn+1-cn=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$,解不等式可得数列{cn}的单调性,进而得到最小值.
解答 解:(1)由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=an+2,可得n=1时,4S1=a1(a1+2)=4a1,
解得a1=2;
由4Sn=an2+2an,可得4Sn-1=an-12+2an-1,n>1.
两式相减可得,4an=an2+2an-an-12-2an-1,
即为(an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1),
由题意可得an-an-1=2,
即有an=2+2(n-1)=2n,
数列{bn}是a1为首项,公比为a2-a1的等比数列,
可得bn=2•2n-1=2n;
(2)cn=an+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$,
由cn+1-cn=2n+2+$\frac{24}{{2}^{n+1}}$-2n-$\frac{24}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$,
当n=1,2时,cn+1-cn<0;
当n≥3时,cn+1-cn>0.
即有c1>c2>c3<c4<c5<…,
可得c3取得最小值,且为6+$\frac{24}{8}$=9.
点评 本题考查数列的通项的求法,注意运用下标变换相减法,考查等比数列的通项公式,同时考查数列的单调性的运用:求最值,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2π}{3}$ | B. | π | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | x+y-2=0 | B. | x-y+2=0 | C. | x+y+2=0 | D. | x-y-2=0 |
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