Question

已知(

x

+

1

2 x

)n展开式的前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据已知条件列出方程2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，解方程求出n的值．
（2）由二项展开式中中间项的二项式系数最大，根据n=8时展开式中共有9项，利用二项展开式的通项公式展开式中二项式系数最大的项．
（3）令展开式中第r+1项的系数最大，令

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

求出r的值，代入展开式的通项公式即得到展开式中系数最大的项．

解答：解：（1）Tr+1=

C r n

2r

x

n

2

-r，
2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，
解得n=8
（2）因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，
因为n=8，
所以展开式中共有9项，
所以展开式中二项式系数最大的项T5=

35

8

（3）令展开式中第r+1项的系数最大，所以

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

解得2≤r≤3
∴r=2，3
∴展开式中系数最大的项为：T₃=7x² ，T₄=7x

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项展开式的二项式系数的性质，属于中档题．