Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60°，侧棱长为

2

2

a，若经过AB₁且与BC₁平行的平面交上底面线段A₁C₁于点E．
（1）试求AE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面AB₁E．

Answer 1

分析：（1）连接A₁B交AB₁于点O，连接OE，根据三角形中位线定理得OE∥BC₁，根据直线与平面平行的判定定理即可得出BC₁∥平面AB₁E，从而有点E为线段A₁C₁的中点，从而得出AE的长．
（2）由题意有△A₁B₁C₁为边长为a的正三角形，再结合点E为线段A₁C₁的中点得B₁E⊥A₁C₁又根据面面垂直的性质得到B₁E⊥A₁C，最后利用在平面ACC₁A₁中由平几知识结合线面垂直的判定可得A₁C⊥平面AB₁E．

解答：解：（1）AE的长为：AE=

3 a

2

，即点E为线段A₁C₁的中点．理由如下：
连接A₁B交AB₁于点O，连接OE，则有OE∥BC₁，
又∵OE?平面AB₁E，BC₁?平面AB₁E，∴BC₁∥平面AB₁E--------（6分）
（2）由题意有△A₁B₁C₁为边长为a的正三角形，
又点E为线段A₁C₁的中点，∴B₁E⊥A₁C₁
又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，∴B₁E⊥A₁C．------（10分）
在平面ACC₁A₁中由平几知识可得A₁C⊥AE，又B₁E∩AE=E，
所以A₁C⊥平面AB₁E．------------------------（14分）

点评：本题考查空间线面、线线垂直的判定及互相转化，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．