Question

已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．
（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；
（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直线l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又，∴a=2c=2，
∴b=．
从而椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，得，
∴，
椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A（a，0），
假设椭圆E上存在点P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆上，∴，
由
=
=
==1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在点P，使得．
分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点F在直线l：x-y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[-a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论．此题是中档题．