精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n
(1)求a2,a3,a4的值.
(2)根据上述所求的值,猜想这个数列的通项公式an,并证明你的结论.

分析 (1)通过a1=1、an+1=2an+3n,直接计算即可;
(2)通过对${a_{n+1}}=2{a_n}+{3^n}$变形可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}-\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={({\frac{3}{2}})^n}$,累加、整理得:$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=\frac{{({{{({\frac{3}{2}})}^n}-1})}}{{\frac{1}{2}}}$,进而可得结论.

解答 (1)解:∵a1=1,an+1=2an+3n
∴a2=2a1+3=5,
${a_3}=2{a_2}+{3^2}=19$,
${a_4}=2{a_3}+{3^3}=65$;
(2)猜想:${a_n}={3^n}-{2^n}$.
证明如下:
∵${a_{n+1}}=2{a_n}+{3^n}$,
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+{({\frac{3}{2}})^n}$,即$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}-\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={({\frac{3}{2}})^n}$,
∴$\frac{a_2}{2}-\frac{a_1}{1}=\frac{3}{2}$,
$\frac{a_3}{4}-\frac{a_2}{2}=\frac{9}{4}$,

$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-2}}}}={({\frac{3}{2}})^{n-1}}$,
累加得:$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}-{a_1}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+…+{({\frac{3}{2}})^{n-1}}$,
∴$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=1+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+…+{({\frac{3}{2}})^{n-1}}=\frac{{({1-{{({\frac{3}{2}})}^n}})}}{{1-\frac{3}{2}}}$,
整理得:$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=\frac{{({{{({\frac{3}{2}})}^n}-1})}}{{\frac{1}{2}}}$,
即${a_n}={2^n}[{(\frac{3}{2})^n}-1]$=3n-2n

点评 本题考查求数列的通项,考查运算求解能力,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1,
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.化在直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程ρ=8sinθ.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

9.已知复数$z=\frac{3-i}{2+i}$(i为虚数单位),则复数z的虚部为-1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知复数Z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,实数m取何值时,
(1)$\overline Z=Z$;    
(2)z为虚数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知实数x,y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$,求z=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.(1-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为(  )
A.2nB.-2nC.(-2)nD.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.若函数y=-$\frac{4}{3}{x^3}+b{x^2}$-2x+5有三个单调区间,则实数b的取值范围为$(-∞,-2\sqrt{2})∪(2\sqrt{2},+∞)$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.在下列四个函数中,在区间(0,$\frac{π}{2}$)上为增函数,且以π为最小正周期的偶函数是(  )
A.y=tanxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y=cos2x

查看答案和解析>>

同步练习册答案