Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ，
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）根据上述所求的值，猜想这个数列的通项公式a_n，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、a_n+1=2a_n+3ⁿ，直接计算即可；
（2）通过对${a_{n+1}}=2{a_n}+{3^n}$变形可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}-\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={（{\frac{3}{2}}）^n}$，累加、整理得：$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=\frac{{（{{{（{\frac{3}{2}}）}^n}-1}）}}{{\frac{1}{2}}}$，进而可得结论．

解答 （1）解：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ，
∴a₂=2a₁+3=5，
${a_3}=2{a_2}+{3^2}=19$，
${a_4}=2{a_3}+{3^3}=65$；
（2）猜想：${a_n}={3^n}-{2^n}$．
证明如下：
∵${a_{n+1}}=2{a_n}+{3^n}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+{（{\frac{3}{2}}）^n}$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}-\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={（{\frac{3}{2}}）^n}$，
∴$\frac{a_2}{2}-\frac{a_1}{1}=\frac{3}{2}$，
$\frac{a_3}{4}-\frac{a_2}{2}=\frac{9}{4}$，
…
$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-2}}}}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}$，
累加得：$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}-{a_1}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+…+{（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}$，
∴$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=1+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+…+{（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}=\frac{{（{1-{{（{\frac{3}{2}}）}^n}}）}}{{1-\frac{3}{2}}}$，
整理得：$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=\frac{{（{{{（{\frac{3}{2}}）}^n}-1}）}}{{\frac{1}{2}}}$，
即${a_n}={2^n}[{（\frac{3}{2}）^n}-1]$=3ⁿ-2ⁿ．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．