Question

如图下所示，杨辉三角形中每一行除首末两个数之外，其余每一个数都等于它肩上的两个数的和．
（1）试用组合数表示这一规律；
（2）在数表中试求前n行（含第n行）所有数的和；
（3）试探究在杨辉三角形的一行能否出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5，并证明你的结论．
         1
       1   1
     1   2   1
   1   3   3   1
1   4   6   4   1
…

Answer 1

分析：（1）根据首末两个数之外，其余每一个数都等于它肩上的两个数的和，可根据组合数公式得到C_n^m-1+C_n^m=C_n+1^m．
（2）先求出每一行和的通项公式，然后利用等比数列求和公式解之即可求出所求；
（3）假设存在，设出这三个数，然后根据它们的比为3：4：5建立等式关系，可求出n-r=

5

12

，而n和r都是正整数，不可能，从而说明在一行中不存在这样的三个数．

解答：解：（1）∵杨辉三角形中每一行除首末两个数之外，其余每一个数都等于它肩上的两个数的和．
∴用组合数表示这一规律即C_n^m-1+C_n^m=C_n+1^m．
（2）第一行的和为1，第二行的和为2，第三行的和为4，依此类推则第n行的和为2^n-1
∴前n行（含第n行）所有数的和为1+2+4+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（3）假设在杨辉三角形的一行能出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5，
则不妨设这三个数为C_n^r-1，C_n^r，C_n^r+1
∴C_n^r-1：C_n^r：C_n^r+1=3：4：5
解得r=27，n=62
故在杨辉三角形的第62行出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5．

点评：本题主要考查了数列的应用，以及排列组合和等比数列的求和等有关知识，有一定的难度，属于中档题．