Question

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证| AB | =；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。

解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…4分
（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为
y = k ( x – 3 )              有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) =" 0"
设点A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )             有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =
|AB| = ** … 6分
又因为 k = tan=             代入**式得
|AB| = ………… 8分
当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =……………… 10分
而当=时，|AB| ==
综上所述：所以|AB| =……………… 11分
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得         |CD| == ……………………… 12分
有|AB| + |CD| =+=
因为sin2∈[0，1]，所以  当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是 …… 16分